设函数f（x）=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象过在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f’(x)的最小值为-12
1)求a,b,c的值
2)求函数单调增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最小值和最大值

f(x)=ax³+bx+c (a≠0)为奇函数,其图象过在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f’(x)的最小值为-12

1)-f(-x)=ax³+bx-c=f(x)=ax³+bx+c,显然c=0
f(x)=ax³+bx
f(1)=a+b
f'(x)=3ax²+b
f'(1)=3a+b
又其图象过在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,所以f(x)在x=1处的斜率为-1/(1/6)=-6.
所以有3a+b=-6
导函数f’(x)的最小值为-12
求二阶导数f''(x)=6ax=0,解得x=0.
所以f'(0)=b=-12
所以a=2
f(x)=2x³-12x

2)f'(x)=6x²-12=0,解得x=±√2,
所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-√2)∪(√2,+∞)
单调减区间为(-√2,√2).
函数f(x)在[-1,3]上最大值为f(3)=18
最小值为f(√2)=2(√2)³-12√2=-8√2.