问题: 不等式问题
在三角形ABC中,已知max(A,B,C)≥90°.求证:
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)<12/5
解答:
在三角形ABC中,已知max(A,B,C)≥90°.求证:
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)<12/5
证明 所证不等式展开整理为
-5Σa^6+7Σ(b^2+c^2)a^4+9(abc)^2≥0 (1)
不妨设a=max(a,b,c),则有 a^2≥b^2+c^2,a<b+c.(1)式分解为
[(b+c)^2-a^2]*[5(a^2-b^2)*(a^2-c^2)+3b^2*(a^2-b^2)+3c^2*(a^2-c^2)+7b^2*c^2+5a^2*bc]
+[6a^2*(b^2+c^2+bc)-2(b^4+c^4)+2bc(b^2+c^2)+9b^2*c^2]*(b-c)^2≥0
上式显然成立。
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