问题: 此不等式有多少个正整数解?
a + b + c + d < 2009
解答:
正整数a、b、c、d的不等式a+b+c+d<2009的解集合,相当于这样一些方程
a+b+c+d=4,a+b+c+d=5,a+b+c+d=6,……,a+b+c+d=2008,共计2005个方程的解的集合
用“隔板法”。例如方程a+b+c+d=2008的解可以看作:把2008个1排成以一列,并且在这2007个“空”中任意选择3个,插下3个隔板,就得到4组整数,恰好满足方程a+b+c+d=2008
所以方程a+b+c+d=2008共有C(2007,3)个解
完全类似的,这些方程的解的个数是
c(4,3)+C(5,3)+C(6,3)+……+C(2007,3)
=C(2008,4)-1
=2008*2007*2006*2005/(1*2*3*4)-1
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