1.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a ,b ∈ R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x> 0时，f(x)<0恒成立。
证明 1. 函数y=f(x)是R上的减函数 2 函数y=f(x)是奇函数
2. 设a为实数，函数f(x)=x^2+∣x-a∣+1,x∈R
1 讨论f(x)的奇偶性 2. 求f(x)的最小值
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1.解：
(1).
设x1>x2,x1=x2+a,a>0
f(x1)-f(x2)=f(x2+a)-f(x2)=f(a)<0
说明函数为减函数

(2).
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)推出F(0)=0
则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0推出f(x)=-f(-x)
说明函数为奇函数

2.解：
(1).
f(0)=|a|+1≠0,所以函数不可能为奇函数
设函数为偶函数，则
f(x)-f(-x)=|x-a|-|-x-a|=0
显然，只有当a=0时，函数为偶函数
当a≠0时，函数为非奇非偶函数

(2).
当x>a时，f(x)=x^2+x-a+1
1).当a=<-1/2，最小值为f(-1/2)=(3/4)-a
2).当a>-1/2，最小值为f(a)=a^2+1
当x<a时，f(x)=x^2+a-x+1
1).当a<1/2时，最小值为f(a)=a^2+1
2).当a>=1/2时，最小值为f(1/2)=(3/4)+a
综上所述：
当a>=1/2时，f(x)的最小值为f(1/2)=(3/4)+a
当a=<-1/2时，f(x)的最小值为f(-1/2)=(3/4)-a
当-1/2<a<1/2时，f(x)的最小值为f(a)=a^2+1
【比较的过程可以写得详细一点，在这里就不啰嗦了】