问题: 求值
已知sinα,sinβ是方程8x^2-6kx+2k+1=0的两根,且α,β终边互相垂直,求k的值.
解答:
原题等价于是否存在实数k,是的方程....的两个根分别是直角三角形的两个锐角的正弦值？
α=A
β=B
A+B=π/2,A,B为锐角.
所以sinB=sin(π/2-A)=cosA.
由韦达定理：sinA+cosA=3k/4 sinAcosA=(2k+1)/8.
因为(sinA+cosA)²=1+2sinAcosA,所以9k²/16=1+(2k+1)/4,
即9k²-8k-20=0.所以k=2 或 k=-10/9.
因为△=36k²-32(2k+1)≥0,所以k=2舍去.
而当k=-10/9时,sinA+cosA=-5/6<0,与A为锐角不符,所以不存在实数k满足条件.
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