问题: 高三不等式
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
1)判断函数单调性和单调区间
2)自然数n不小于3,求证f(n)>n/(n+1)
解答:
1)f(x)=1- [2/(2^x+1)]
后面部分2/(2^x+1) 分母单调递增,分数值单调递减
==>f(x)在整个定义域(-∞,+∞)是增函数
2)f(x)>n/(n+1)
1-[2/(2^n+1)]>n/(n+1)=1 -[1/(n+1)
就是证明2^n -1>2n
根据二项式定理
2^n=C(n,0)+C(n,1)+......+C(n,n)
==>
2^n-C(n,0)=C(n,1)+......+C(n,n)
2^n-1=C(n,1)+......+C(n,n)
=C(n,1)+C(n,n-1)+C(n,2)+.....+C(n,n)
=2n+C(n,n-1)+C(n,2)+.....+C(n,n)
===>2^n-1>2n
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