问题: 函数问题
函数f(x)定义在R上的偶函数,且在(-∞ ,0]上为减函数.
1)证明函数f(x)在[0,+∞ )上为增函数.
2)若f(a-1)>f(1),求实数a 的取值范围.
解答:
1．假设-∞<x1<x2≤0 ,则有0≤-x2<-x1<+∞
因为 f(x)定义在R上的偶函数，有f (x)= f (-x) ，f (-x1)= f (x1) ，f (-x2)= f (x2)
f(x)在(-∞ ,0]上为减函数,有f(x2) < f(x1)
所以 f (-x2) < f(-x1)
结论 f(x)在[0,+∞ )上为增函数.
2. ⑴ 函数f(x)在(-∞ ,0]上为减函数，f(a-1)>f(1),
有 a-1<1, 且定义域 -∞<a-1≤0
解2个不等式得：a≤0
⑵函数 f(x)在[0,+∞ )上为增函数，f(a-1)>f(1),
有 a-1>1, 且定义域 0≤a-1<+∞
解2个不等式得： a>2
结论 a 的取值范围是a≤0或 a>2
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