问题: 某客运公司购买了每辆价值为20万元的大客车投入运营,根据调查材料得知,每辆大客车每年客运收入约为10
万元,且每辆客车第n年的油料费,维修费及其他各种管理费用总和与年数n成正比,又知第三年每辆客车以上费用是每年客运收入的48%
1)写出每辆客车运营的总利润(客运收入扣除总费用及成本)y与n的函数关系式
2)每辆客车运营多少年可使运营的年平均利润最大?并求出最大值
解答:
设每辆客车运营多少年可使运营的年平均利润最大，每辆客车“以上费用”为t=kn万元，则10×48%=3k， ∴ k=1.6， t=1.6n
n年总的“以上费用”为Sn=1.6+2×1.6+…+1.6n）=n(1.6+1.6n)/2=0.8n(n+1),依题意yn=10n-Sn-20=10n-0.8n(n+1)-20,
∴ y=9.2-[(n/10)+(20/n)], ∵ (n/10)+(20/n)≥2√[(n/10)×(20/n)]=2√2, ∴ y≤9.2-2√2当且仅当n/10=20/n,即n=10√2≈14.14时"='号成立,但n是正整数, ∴ n=15年时,y≤9.2-(17/6)=191/30≈6.3666
∴ 每辆客车运营15年可使运营的年平均利润最大,最大值约为6.3666万元.
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