问题: 数列
数列 1-n,2(n-1),3(n-2)…n-1的和为
解答:
1*n, 2(n-1), 3(n-2), …, n*1 的和 Ｓ 为:_________________
首先有公式： 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
通项公式： k[n-(k-1)] = k * (n+1) - k^2. （k=1，2，3，...，n）
所以 1 * (n-0) = 1 * (n+1) - 1^2
2 * (n-1) = 2 * (n+1) - 2^2
3 * (n-2) = 3 * (n+1) - 3^2
...........................
n * (n-n) = n * (n+1) - n^2
以上n个式子相加得：
Ｓ = (1 + 2 + 3 + ... + n) * (n+1) - (1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2)
= n(n+1)(n+1)/2 - n(n+1)(2n+1)/6
= n(n+1)/6 * (3n+3-2n-1)
= n(n+1)/6 * (n+2)
= n(n+1)(n+2)/6
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