问题: 高1数学题5
甲3sinαcos(α+β)=sin(2α+β)
乙tan(α+β)=2tanα
则甲是乙的( )条件
要推断过程
解答:
解：(1)因为sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
=3sinαcos(α+β)，
所以，sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)，
两边都除以cos(α+β)cosα,得sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα,即tan(α+β)=2tanα.
所以由甲可以推出乙.
(2)因为tan(α+β)=2tanα，即sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα,
两边都乘以cos(α+β)cosα，得sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)，
两边都加上cos(α+β)sinα，得
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β)，
即sin(2α+β)=3sinαcos(α+β).
所以，由乙也可推出甲.
所以，甲是乙的(充分且必要 )条件.
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