问题: 高２数学(椭圆)
椭圆x^2/a^2+y^2/36=1(a>6)上一点M满足∠F1MF2=∏/3
其中F1,F2为椭圆的两焦点,求△F1MF2的面积.
解答:
|F1F2| = 2c （c^2 = a^2 - b^2 ， a>b>0， c>0）
记 |MF1| = m， |MF2| = n
由椭圆定义知 m + n = 2a
两边平方，可得 m^2 + n^2 + 2mn = 4a^2
又由余弦定理得 m^2 + n^2 - 2mncos(π/3) = 4c^2
相减，得 3mn = 4b^2
所以 mn = 4b^2 /3
根据三角形面积公式，得
S(△F1MF2) = [mnsin(π/3)]/2 = [(√3)b^2]/3 ＝ 12√3
这个问题的一般结论是：S(△F1MF2) = (b^2)tan(θ/2)
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