已知函数f(x)=(2x^2+bx+c)/(x^2+1) (b＜0)的值域为[1,3]
(1)求实数b,c的值
(2)判断函数F(x)=lgf(x)在x∈[-1,1]上的单调性,并给出证明
(3)若t∈R,求证:lg(7/5)≤F(|t-1/6|-|t+1/6|)≤lg(13/5)

第(3)问可以不做...

解：(1)函数f(x)=(2x²+bx+c)/(x²+1)值域[1,3]
因此
1≤(2x²+bx+c)/(x²+1)≤3
x²+1≤2x²+bx+c≤3x²+3
x²+bx+c-1≥0.....(1)
x²+bx+3-c≥0.....(2)
(1)式 (x+b/2)²+c-1-b²/4≥0
对于任意x值，上式都成立 c-1-b²/4≥0......(3)
(2)式 (x+b/2)²+3-c-b²/4≥0
对于任意x值，上式都成立 3-c-b²/4≥0......(4)
(3)+(4)得
-2≤b<0......(5)
(3)式 b≥-2√(c-1)
要使（5）式成立，0<c-1≤1
即 1<c≤2
(4)式 b≥-2√(3-c)
要使（5）式成立，0<3-c≤1
即 2≤c<3
因此，需要同时成立，只能c=2
得：b=-2
b=-2 c=2

(2)f(x)=(2x²-2x+2)/(x²+1)=2-2x/(x²+1)=2-2/(x+1/x)
因为2/(x+1/x)在[-1,1]上递增,所以F(x)在[-1,1]上递增.