是否存在100个正整数，使得它们的和与最小公倍数相等？

一个正整数不是42的正整数倍与合数之和，这个数最大是多少？

解：1)取1,2,2²,2³,...,2^(2n+1)和3,3*2,3*2³,3*2^5,...,3*2^(2n-1).这3n+3个数的最小公倍数显然是3*2^(2n+1)，
其和为2^(2n+2)-1+3+2[2^(2n)-1]=3*2^(2n+1).
取n=33，得到102个数，1,2,4,8,32,64...2^67和3,6,24,96...3*2^65,
用12替代4和8，48替代16和32，如此得到的100个正整数满足所需条件。

2)所求的数被42除后的余数应是1，或是素数。
设所求的数为42n+p，其中n为非负整数，p为小于42的素数或1。
由于2×42+1，42+2，42+3，42×5+5，42+7，2×42+11，42+13，4×42+17，3×42+19，42+23，3×42+29，2×42+31，4×42+37，2×42+41都是合数，所以n>5时，42n+p都可以表示42的正整数倍与合数之和，而42×5+5满足题意，故所求的数是42×5+5=215。