求素数2^3021377-1的末四位数

设a,b,c,d为正整数，并且ab=cd.问：a+b+c+d能否为素数？

解：1)2^3021377=2^7×2^(10×302137)=2^7×(1025-1)^302137
```````````````=2^7×(1025^302137-……+302137×1025-1)
```````````````=2^7×(1025^2·M+302137×1025-1)
括号里是偶数,而302137×1025-1是偶数,所以M是偶数.
设M=2K,则
2^302137=2^7×(1025^2×2K+302137×1025-1)
````````=2^4×(4×1025)^2×K+2^7×(309690425-1)
````````=(4×41)^2×10^4×K+3964037272.
所以最后四位数为4271.

2)由题意，知a+b+c+d=a+b+c+ab/c=(a+c)(b+c)/c为整数.
从而存在正整数c1与c2,使c1c2=c，且(a+c)/c1与(b+c)/c2均为整数，将其分别记为k与l。由于a+c>c≥c1,b+c>3≥c2,所以k>1且l>1.
从而a+b+c+d=kl是合数。