当k为任意实数时，讨论方程x^2/(4-k)+(k-2)y^2=k+1表示何种曲线

解：考虑方程能否化为二次曲线方程的标准形式,首先对k以-1为标准作第一层次的分类讨论.
(1)k=-1时,方程为y=±√15•x/15,方程表示两条过原点的相交直线.
(2)k>-1时,对k以2为标准作第二层次的分类.
①-1<k<2时,方程为x²/(4-k)(k+1)+y²/[(k+1)/(k-2)]=1
方程表示焦点在x轴上的双曲线；
②k=2时,方程x=±√6,表示两条平行线；
③k>2时,对k以4为标准作第三层次的分类；
(i)2<k<4时,对k以3为标准作第四层次的分类；
k=3,方程为x²+y²=4表示圆；
2<k<3或3<k<4方程表示椭圆.
(ii)k=4,无轨迹；
(iii)k>4,方程表示双曲线.
(3)k<-1,方程表示双曲线.