问题: 最值
已知函数f(x)的定义域为R,对于任意x1,x2属于R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且当x＞0时,f(x)＜0,f(1)=-2.试判断在[-3,3]上,f(x)是否有最大值和最小值?如果有求出最大值或最小值
解答:
解：令x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
设任意实数x1,x2,且x1＜x2
则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
由已知条件，x＞0时,有f(x)＜0；
现在x2-x1＞0，所以得到f(x2-x1)＜0,
即f(x2)-f(x1)＜0，由于x1＜x2，且都是实数.
f(x)在R上是减函数.
所以在区间[-3,3]内f(-3)为最大值.
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4
f(-3)=f[-2+(-1)]=f(-2)+f(-1)=4+2=6
最小值为f(3)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-4-2=-6
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