设函数f(x)=lg [x+根号(x²+1)].
(1)确定函数f(x)的定义域
(2)判断函数f(x)的奇偶性
(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数
(4)求函数f(x)的反函数

解：(1)f(x)=lg[x+√(x²+1)]=lg{1/[√(x²+1)-x]}
x+√(x²+1)>0恒成立.所以定义域为R.

(2)f(-x)=lg{1/[√(x²+1)+x]}=lg1-lg[√(x²+1)+x]=-lg[√(x²+1)+x]=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(3)只要证明g(x)=1/[√(x²+1)-x]递增即可.
设x1<x2
g(x1)-g(x2)=1/[√(x1²+1)-x1]-1/[√(x2²+1)-x2]
=[√(x2²+1)-√(x1²+1)-(x2-x1)]/{[√(x2²+1)-x2][√(x2²+1)-x2]}
分母恒大于0,√(x2²+1)-√(x1²+1)>x2-x1>0,故函数f(x)在R上递增.

(4)因为y=lg[x+√(x²+1)]，所以10^y=x+√(x²+1) ……（1），
1/(10^y)=1/[x+√(x²+1)]，即√(x²+1)-x=10^(-y) …… （2），
（1）-（2）得，2x=10^y+10^(-y)，即x=[10^y+10^(-y)]/2，x与y互换，得f^(-1)(x)=[10^x+10^(-x)]/2