问题: 齐次函数题目
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解答:
用δ表示偏导符号,
1.
设t^nf(x,y)=f(tx,ty)
设F(t)=t^nf(x,y)-f(tx,ty)
==>
F'(t)=nt^(n-1)f(x,y)-xδf(tx,ty)/δx-yδf(tx,ty)/δy
≡0
==>
nt^(n-1)f(x,y)=xδf(tx,ty)/δx+yδf(tx,ty)/δy
取t=1
==>
nf(x,y)=xδf(x,y)/δx+yδf(x,y)/δy
2.
设nf(x,y)=xδf(x,y)/δx+yδf(x,y)/δy
设G(t)=f(tx,ty)
G'(t)=xδf(tx,ty)/δx+yδf(tx,ty)/δy=
=nf(tx,ty)/t=nG(t)/t
解微分方程得:G(t)=Ct^n
取t=1得,C=G(1)=f(x,y)
==>
f(tx,ty)=f(x,y)t^n.
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