问题: 求点的问题,谢谢!
求一个在抛物线y = 1−x2(是x的平方)上的一点,满足下面的条件:
这一点上的切线与第一象限围成的三角形面积最小
谢谢!
解答:
设该点为P(m,1-m^2),(m>0),[m<=0切线不能在第一象限围成三角形]
y=1-x^2
y'=-2x
则切线方程为y=-2mx+b
1-m^2=-2m^2+b,b=m^2+1
切线:y=-2mx+m^2+1
令y=0,x=m/2+1/(2m)
面积S=1/2*(m^2+1)*[m/2+1/(2m)]=1/4(m^3+2m+1/m)
令S'=1/4(3m^2+2-1/m^2)=0,m=±√3/3
当m->∞,S->+∞;当m->0+,S->+∞
所以当m>0,S有最小值即当m=√3/3时S最小
故所求点为P(√3/3,2/3)
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