问题: 数列
谁能把高考有关数列的所有内容帮我整理一下,越详细越好,比如错位相减,累加法之类的(包括在什么情况下用什么方法).小妹感激不尽!
解答:
数列求和中常用方法有:①转化法(转化为A.P或G.P),此法技巧性较强,要积累经验。
②错位相减求和法用于数列{an·bn},两数列一为A.P,另一为G.P.
③累加法中主要是裂项相消求和法,用于分式数列。
④通项法,用于an已知的数列,等等。举例如下:
①法:形如A(n+1)=pAn+q(p,q为常数,p≠0)的数列可转化为p为公比的G.P
例1.A1=1,A(n+1)=2An+1,则A(n+1)+1=2(An+1),则数列{An+1}是首项=A1+1=2, 公比=2的G.P, An+1=2×2^(n-1)=2^n, ∴ An=2^n-1,接下来用法④求和Sn=(2+2^+2^3+…+2^n)-(1+1+1+…+1)=2(2^n-1)-n
例2.已知Sn=n(n-5)/2,数求列{Sn/n}的前n项和Tn(2000年全国高考)
∵ S(n+1)/(n+1)-Sn/n=(n-4)/2-(n-5)/2=1/2, ∴ 数列{Sn/n}是首项=S1/1=-2,公差=1/2的A.P,易得Tn=n(n-9)/4.
②法: 例3.求数列{n/2^n}的和Sn.
设Sn=1×(1/2)+2×(1/2)^+3×(1/2)^3+…+n×(1/2)^n,则
(1/2)Sn=1×(1/2)^+2×(1/2)^3+…+(n-1)×(1/2)^n+n×(1/2)^(n+1),两式相减得
(1/2)Sn=(1/2)+(1/2)^+(1/2)^3+…+(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)
=[(1/2)^n-1]-n(1/2)^(n+1),易得Sn=2-1/2^(n-1)-n/2^n.
③法:例4.若An=1/[n(n+1)],求Sn.
∵ An=(1/n)-1/(n+1), ∴ Sn=[1-(1/2)]
④法:例5.是否存在正整数a,b,c,使等式1·2^+2·3^+…+n(n+1)^=n(n+1)(an^+bn+c)/12对一切n∈N+都成立,并证明你的结论.(全国高考)
∵ An= n(n+1)^=n^3+2n^+n,
∴ Sn=(1+2^3+3^3+…+n^3)+2(1+2^+3^+…+n^)+(1+2+3+…+n)
=[(n(n+1)/2]^+[n(n+1)(2n+1)/6]+[n(n+1)/2]=n(n+1)(3n^+11n+10)/12, ∴ 存在a=3,b=11,c=10,使所给等式成立.
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