数列{an}满足a1=4，an+1=(1/2) （an+1）。
（1） 求证：{an}不是等差数列；
（2） 是否存在一个常数k，使{an—k}成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3） 求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（4） 若要使an≤1025/1024 ，求n的取值范围

数列{an}满足a1=4，an+1=(1/2) （an+1）。

（1） 求证：{an}不是等差数列；
a1 = 4,
a2 = (1/2)(a1 + 1) = 5/2
a3 = (1/2)(a2 + 1) = 7/4
显然，前３项不成等差数列
所以整个数列{an}不是等差数列

（2） 是否存在一个常数k，使{an—k}成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
假设存在常数k，使得{an - k}是等比数列，并设公比为q
则 a(n+1) - k = q*(an - k)
展开整理得 a(n+1) = q*an + k(1-q)
与已知条件 a(n+1) = (1/2)an + 1/2 比较
得 q=1/2， k=1
即 存在常数k=1/2，使得{an - 1}是以1/2为公比的等比数列


（3） 求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
由（2）及 a1 - 1 = 4 - 1 = 3
可得 an - 1 = 3 * (1/2)^(n-1)
整理得 an = 3/2^(n-1) + 1

（4） 若要使an≤1025/1024 ，求n的取值范围
由 3/2^(n-1) + 1 ≤ 1025/1024 = 1 + 1/1024
得 3/2^(n-1) ≤ 1/1024
即 2^(n-1) ≥ 3*1024 = 3072
因为 2^11 = 2048 ， 2^12 = 4096
所以 n-1 ≥ 12
即 n ≥ 13 （且 n 是正整数）——就是n的取值范围