问题: 三角函数题
已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B,
1/cosA+1/cosC=-根号2/cosB
求cos[(A-C)/2]的值
解答:
解：由A+C=2B,得B=60°,A+C=120°.
设(A-C)/2=x,则A-C=2x.可设A=60°+x,C=60°-x,
所以1/cosA+1/cosC=1/cos(60°+x)+1/cos(60°-x)
=1/(cosx/2-√3·sinx/2)+1/(cosx/2+√3·sinx/2)
=cosx/(cos²x/4-3sin²x/4)
=cosx/(cos²x-3/4.
根据条件：cosx/(cos²x-3/4)=-√2/cosB=-√2/cos60°=-2√2.
整理,得4√2·cos²x+2cosx-3√2=0
(2cosx-√2)(2√2·cosx+3)=0.
因为2√2·cosx+3≠0,所以cosx=cos[(A-C)/2]=√2/2.
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