已知Z为复数,若关于x的方程Z+a|Z+1|+i=0有解,求实数a的取值范围.

题目应该是：
已知Z为复数,若关于“z”的方程Z+a|Z+1|+i=0有解,求实数a的取值范围.

解：变为 z+i = -a|z+1|
因为 a 是实数，所以 右边是实数，从而 左边也为实数
故设 z+i=m（m是实数），则 z=m-i
代入方程 得 m = -a|(m+1)-i|
即 m = -a√[(m+1)²+1]
即要求此关于 m 的方程有解（m是实数）
-a = m / √(m²+2m+2)
若 a=0， 则 m=0，故 z有解，符合要求；
若 a≠0， 则 m≠0，从而
若 m>0 ，则 a = -1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²]
　　因为 m∈(0, +∞) 所以 1/m ∈ (0, +∞)
　　　　 1+2(1/m)+2(1/m)² ∈ (1, +∞)
　　　　 √[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (1, +∞)
　　　　 1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (0, 1)
　　　　 -1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (-1, 0)
　　 即 a ∈ (-1, 0) ；
若 m<0 ，则 a = 1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²]
　　因为 m∈(-∞, 0) 所以 1/m ∈ (-∞, 0)
　　　　 1+2(1/m)+2(1/m)² = 2[(1/m) + 1/2]² + 1/2 ∈ (1/2, +∞)
　　　　 √[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ [(√2)/2, +∞)
　　　　 1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (0, (√2)/2]
　　 即 a ∈ (0, (√2)/2]

综上所述　a ∈ ( -1 , (√2)/2 ]