问题: 高等数学问题2
设f(x)在[a,b] 上连续，证明:如果定积分$(b,a)[f(x)]^2dx=0
则在[a,b]上f(x)恒 =0
解答:
证明：因为[f(x)]^2>=0, 故定积分∫(b,a)[f(x)]^2dx > 0
设在点 x＝x0 处， [f(x)]^2 不等于0，由f(x）的连续性知，在某一区域[-c,c] 内（c>0), f(x)不等于0，即 [f(x)]^2>0 . 故
定积分∫(b,a)[f(x)]^2dx >= 定积分∫(c,-c)[f(x)]^2dx >0
这与 定积分∫(b,a)[f(x)]^2dx=0 相矛盾。故 在[a,b]上f(x)恒 =0
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