问题: 急求一道导数题目的解答
设y=(arcsinx)^2证明
y(0)的n+1阶导数=n^2*(y(0)的n阶导数)
并求y(0)的n阶导数
问下如何求y(0)的n阶导数
解答:
y'=(2arcsinx)/√(1-x^2)
==>
√(1-x^2)y'=(2arcsinx),y'(0)=0
==>(两边导)
√(1-x^2)y''-(xy')/√(1-x^2)=2/√(1-x^2)
==>
(1-x^2)y''-(xy')=2,y''(0)=2
n>1,对两边求n-1阶导得:
==>
(1-x^2)y^((n+1))-2(n-1)xy^((n))-(n-1)(n-2)y^((n-1))-
-xy^((n))-(n-1)y^((n-1))=0
设x=0得:
==>
y^((n+1))(0)=(n-1)^2y^((n-1))(0).
根据递推公式得:
y^((2n-1))(0)=0,n≥1
y^((2n))(0)=(2n-2)^2*..*2^2*y''(0)=
=[(n-1)!]^2*2^(2n-1),n≥1.
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