问题: 大学作业问题
已知函数f(x)在上[a,b]连续，证明在(a,b)内存在e，使得定积分：$(b,a)f(x)dx=f(e)(b-a)
（$(b,a)表示定积分符号）
解答:
证明:∵f(x)在[a,b]上连续,∴f(x)在[a,b]上必取最大值M和最小值m,即有
m≤f(x)≤M,(a≤x≤b),因此有∫(a,b)mdx≤∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)Mdx,即有
m(b-a)≤∫(a,b)f(x)dx≤M(b-a).再用b-a>0除之,便得
m≤[1/(b-a)]∫(a,b)f(x)dx≤M.
根据连续函数的性质,对f(x)在区间[a,b]上的最小值m与最大值M之间的某一数
[1/(b-a)]∫(a,b)f(x)dx,在区间[a,b]内必存在一点ξ,使
f(ξ)=[1/(b-a)]∫(a,b)f(x)dx (a<ξ<b)
也就是有∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a).
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