问题: 积分问题42
解答:
证明:显然, F(x)为非负函数.
f(x)是非负增函数,由积分中值定理,有
[∫(0,x)tf(t)dt =(x-0)[cf(c)]≤x²f(x),(其中0<c<x)
故,当x>0时,
F'(x)=-(1/x²)[∫(0,x)tf(t)dt +(1/x)[xf(x)]≥-(1/x²)x²f(x)+f(x)=0
即 F'(x)≥0
故 F(x)为非负增函数.
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