问题: 一个定积分证明
设函数 f(x) 在[0，派］上连续，且f(x)cosx 与f(x)sinx在[0，派］上的定积分式相等，且都等于０，则证明在(0,派)内至少存在两个不同的点a,b，使f(a)=f(b)=0
解答:
1.
若f(x)在（0，π）上同号,则sinxf(x)在（0，π）上同号且连续,
所以∫{0→π}sinxf(x)dx≠0,矛盾.
因此在（0，π）上有a使,f(a)=0.
2.
反证法:假设在（0，π）上只有一点a,f(a)=0,
则可设:在（0，a）上,f(x)>0,
在（a,π）上,f(x)<0.
由于
∫{0→π}cos(x+π/2-a)f(x)dx=
=cos(π/2-a)∫{0→π}cosxf(x)dx-
-sin(π/2-a)∫{0→π}sinxf(x)dx=0
但是在（0，a）上,cos(x+π/2-a)f(x)>0,
在（a,π）上,cos(x+π/2-a)f(x)>0.
cos(x+π/2-a)f(x)在（0,π）上连续,
因此∫{0→π}cos(x+π/2-a)f(x)dx>0,
矛盾,所以在(0,π)内至少存在两个不同的点a,b，
使f(a)=f(b)=0.
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