问题: 集合的问题?
已知集合M={(x,y)/x^2+y^2=1},N=={(x,y)/(x/a)-(y/b)=1,a>0,b>0},当M与N的交集只有一个元素时,ab/根号下(a^2+b^2)=? (答案是1)
解答:
当M与N的交集只有一个元素时，也就是曲线x^2+y^2=1与直线(x/a)-(y/b)=1只有一个交点.
由(x/a)-(y/b)=1得y=bx/a-b.把y=bx/a-b代入x^2+y^2=1，消去y,并整理，得
(a^2+b^2)x^2-2(ab^2)x+a^2(b^2-1)=0.……(1)
因为曲线x^2+y^2=1与直线(x/a)-(y/b)=1只有一个交点，
所以，方程（1）的判别式为
[-2(ab^2)]^2-4*(a^2+b^2)*[a^2(b^2-1)]=0.
化简，得
a^2+b^2=a^2*b^2.
所以，ab/根号下(a^2+b^2)=ab/根号下(a^2*b^2)=ab/(ab)=1.
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