问题: 离心率的取值范围
已知P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,若向量OP×向量AP=0,其中O为原点,A为右顶点,求椭圆离心率的取值范围
解答:
设 P(x, y）
则一方面 x²/a² + y²/b² = 1
另一方面 OP * AP = (x, y) * (x-a, y) = x(x-a) + y² = 0
消去 y ， 得 x(x-a) + b²(1 - x²/a²) = 0
即 a²x(x-a) + b²(a²-x²) = 0
即 (x-a) * (a²x - ab² - b²x) = 0
所以 a²x - ab² - b²x = 0
得 x = ab²/(a²-b²)
由 ab²/(a²-b²) < a
得 b² < a² - b²
即 2b² < a²
即 2(a²-c²) < a²
即 2c² > a²
得 e² > 1/2
所以 (√2)/2 < e < 1
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