问题: 已知三角形ABC的顶点B为椭圆短轴的一个端点,另两个顶点也在椭圆上,若三角形的重心恰为椭圆的一个焦点
已知三角形ABC的顶点B为椭圆短轴的一个端点,另两个顶点也在椭圆上,若三角形的重心恰为椭圆的一个焦点,则椭圆的离心率的取值范围.
解答:
已知三角形ABC的顶点B为椭圆短轴的一个端点,另两个顶点也在椭圆上,若三角形的重心恰为椭圆的一个焦点,则椭圆的离心率的取值范围.
设椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1
不妨设：B(0,b), G(c,0)
延长BG至D,使|GD|=|BG|/2--->D(3c/2,-b/2)是弦AC的中点
--->D必在椭圆内--->(3c/2)²/a²+(-b/2)²/b²＜1
--->9c²/a² ＜3
--->e²＜1/3
--->e＜√3/3
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