问题: 由“十全十美”想到
有一个叫“十全十美”的游戏,规则是5*5的白色方格,任意选中其中一个方格,这个方格及与这个方格有公共邻边的方格颜色都发生变化(本来黑格子的变白色,本来白格子的变黑色),即变化颜色的是一个十字形的区域(如果选的是边角的格子,它的某一边可能没有相邻的格子,那么变化的区域也可能不是十字形的),开始时所有格子都是白色,如是反复操作,直到25个格子全部变成黑色即为成功。
转化为数学题目,就是任意一个格子被选中的次数及这与这个格子有公共邻边的方格被选中的总数目相加为奇数,这样,可以简单地把每个格子被选中的次数记为0或者1,我在纸上尝试了好几次都不能做到要求,谁能给出一种满足要求的数组?最少要有几个1才能满足要求?(即最少要操作几步能完成游戏)
解答:
在下图1的位置变一次,0的位置不变.
0,0,0,1,1
1,1,0,1,1
1,1,1,0,0
0,1,1,1,0
1,0,1,1,0
只有这种情况,所以最少要操作15步.
计算的方法不难,但有些长.
大概原理是在这25个格内填0,1两个数.
1.
由于奇数+奇数=偶数+偶数=偶数,
奇数+偶数=奇数.
所以可在0,1这两个数定义一种运算,
0+0=1+1=0,0+1=1
2.
先从顶点开始填
(a)先填3个数:
0,0,
1,
(b)再填3个数,以后每填一个数使其上面的数的周围的和=1:
0,0,a,
1,b,
b,
其中有方程(上面的运算): a+b=1 (A)
(c)
再填4个数:
0 ,0,a ,c
1 ,b,b+c,
b ,c,
b+c,
(d)
再填5个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,
b , c,d ,
b+c,1+c+d,
d,
(e)
再填1个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,
b+c,1+c+d,
d,
(f)
再填2个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,1+c ,0
b+c,1+c+d,
d,
(g)
再填3个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,0 ,0
b+c,1+c+d,a+d,a+c ,c+d
d,
(h)
再填1个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,0 ,0
b+c,1+c+d,a+d,a+c ,c+d
d ,1+c ,
而根据d的位置,得方程:
b+c+d+1+c=1==>
b=d (B)
(i)
再填1个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,0 ,0
b+c,1+c+d,a+d,a+c ,c+d
d ,1+c ,d
而根据1+c的位置,得方程:
1+c+d+1+c+d+d=1==>
1=d (C)
(j)
再填1个数:
0 , 0,a ,c ,d
1 , b,b+c,b+c+d,1+c+d
b , c,d ,0 ,0
b+c,1+c+d,a+d,a+c ,c+d
d ,1+c ,d ,1 ,
而根据d的位置,得方程:
1+c+d+a+d+1=1==>
c=b (D)
(A),(B),(C),(D)==>
a=0,b=c=d=1
最后得:
0,0,0,1,1
1,1,0,1,1
1,1,1,0,0
0,1,1,1,0
1,0,1,1,0
3.
同法可得:4个角都是1的情况不可能.
慢慢看吧.也可试试3*3的情况.
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