问题: 斜率
椭圆(x^2/25)+(y^2/9)=1上有3个不同的点A(x1,x2),B(4,9/5),C(x2,y2)到焦点F(4,0)的距离成等差数列,1.求x1+x2;2.若线段AC的中垂线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率.
解答:
解：(1)设A到右焦点的距离为d1,设B到右焦点的距离为d0,设C到右焦点的距离为d2.
则d1=e(a²/c-x1)
d0=e(a²/c-4)
d2=e(a²/c-x2)
由2d0=d1+d2
得x1+x2=8
(2)因为线段AC的中垂线与X轴交于点T,设T的坐标为(t,0).
则Kac·Kt=-1
Kac=(y2-y1)/(x2-x1)
Kt=((y2+y1)/2)/((x1+x2)/2-t)
2(4-t)=-(x2-x1)/(y2-y1)(y1+y2)
由x1²/25+y1²/9=1 x2²/25+y2²/9=1
得(x1-x2)(x1+x2)/(y1-y2)(y1+y2)=-25/9
t=64/9 T(64/9,0)
K(BT)=(-9/5)/(64/9-4)=-81/140.
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