问题: 取值范围
已知F1,F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,P为双曲线左支任意一点,若|PF2|2/|PF1|的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是 答案(1,3]
解答:
首先要明白,左支上的P点在顶点,即与X轴交点时,到F2的距离最小
设 |PF1|=m ,|PF2| =n
n²/m≥8a
n-m=2a ==>m=(n-2a)
n²≥8a(n-2a)
n²-8na-16a²≥0
(n-4a)²≥0..............(1)
===>P到F2的最小距离可以取到4a
如果是P在左支与X轴交点时n取到的4a
显然,此时c+a=4a ==>c=3a,e=3
e>3时,c>3a时,P到F2的最小距离大于4a,(1)式不能取到等号
e<3时,c<3a时,P到F2的最小距离小于4a,
只要P点在左支移动,到F2距离逐渐增大,总可以取到n=4a的P点
所以,双曲线的最大离心率是3
又,双曲线离心率都大于1
==>e∈(1,3]
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