问题: 数列问题
已知在数列{a<n>}中, a<1> = 2, 且对任意自然数n, a<n>与a<n+1>是关于x的方程x^2 – kx + (1/3)^n = 0 的两个实根, 则{an}的前15项中所有奇数项和为多少? 要求详列解题步骤.
解答:
解：由韦达定理，得
a<n>a<n+1>=(1/3)^n，即
a<2m>a<2m+1>=(1/3)^(2m)
a<2m-1>a<2m>=(1/3)^(2m-1)
上两式相除，得a<2m+1>/a<2m-1>=1/3
即在数列a<1>,a<3>,……,a<15>中，
q=a<2m+1>/a<2m-1>=1/3,n=(15-1)/2+1=8
S=a<1>(1-q^n)/(1-q)
=2[1-(1/3)^8]/(1-1/3)
=6560/2187
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