问题: 急!!!
三角形ABC,y=cotA+2sinA/[cosA+cos(B-C)]
(1)若任意交换三角形ABC中两个角的位置,y的值是否变化?证明你的结论
(2)若三角形ABC中有一内角为45度,求y的最小值
解答:
(1) 看y的表达式能否变成关于A、B、C对称的式子
y = cotA + 2sinA/[cosA+cos(B-C)]
= cotA + 2sinA/[-cos(B+C)+cos(B-C)]
= cotA + 2sinA / (-cosBcosC + sinBsinC + cosBcosC + sinBsinC)
= cotA + 2sinA/(2sinBsinC)
= cotA + sin(B+C)/(sinBsinC)
= cotA + (sinBcosC + cosBsinC) / (sinBsinC)
= cotA + cotC + cotB
所以结论是：y不变
(2) 由(1)可知 不妨设 A = 45度
则 y = cot45度 + 2sin45度/[cos45度 + cos(B-C)]
= 1/√2 + √2 / [1/√2 + cos(B-C)]
显然当 B=C 时，
y 取得最小值： 1/√2 + √2 / (1/√2 + 1) = 5/√2 - 2
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