10.设函数f(x)在(-无穷，＋无穷）上连续，
且F(x)=$(x,0) (x-2t)×f(t) dt
证明（1）如果f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数.
（2）如果f(x)单调不增，则F(x)也单调不增。
（其中$表示积分号)

1
F(x)=$(x,0) (x-2t)×f(t) dt
=x$(x,0) f(t) dt -$(x,0) 2tf(t) dt

则F（-x）=-x$(-x,0) f(t) dt -$(-x,0) 2tf（t) dt


令t=-s
则
F(x)=x$(-x,0) f(-s) d（-s） -$(-x,0) 2（-s）f(-s) d（-s）
=-x$(-x,0) f(s) ds -$(-x,0) 2sf（s) ds
=-x$(-x,0) f(t) dt -$(-x,0) 2tf（t) dt
=F（-x）
所以为偶函数
2
F(x)=$(x,0) (x-2t)×f(t) dt
=x$(x,0) f(t) dt -$(x,0) 2tf(t) dt
F'(x)=$(x,0) f(t) dt +xf(x)-2xf(x)
=$(x,0) f(t) dt -xf(x)
=$(x,0) f(t) dt -$(x,0) f(x) dt
=$(x,0)[ f(t)- f(x)] dt

由f(x)单调不增
若x>=0,则f(t)- f(x)>=0
F'(x)>=0,此时F单调不减

由f(x)单调不增
若x<0,
=$(x,0)[ f(t)- f(x)] dt =$(0,x)[ f(x)- f(t)] dt
则f(x)-f(t)>=0
F'(x)>=0,此时F单调不减
总之F单调不减

不知怎么回事情与你的结论相反，自己再看一下有没有什么问题