问题: 双曲线
已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为√2,且过点(4,-√10).
(1)求此双曲线的方程
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证F1M⊥F2M
(3)求△F1MF2的面积
解答:
因为双曲线的离心率为 e = c/a = √2
所以 b² = c² - a² = 2a² - a² = a²
故 双曲线是等轴双曲线，其两条渐近线为 y = x 和 y = -x
因为 双曲线过点 (4,-√10). 而此点在第四象限且在直线 y=-x 的上方
故 双曲线的焦点在 x 轴上，其方程应为 x² - y² = a²
将 (4,-√10) 代入 ， 得 a² = 6
故 双曲线方程为 x² - y² = 6
由(1)得 c = 2√3 ， 所以 F1(-2√3, 0) ， F2(2√3, 0)
又 M(3, √3) 或 M(3, -√3)
容易求得 kMF1 * kMF2 = -1
所以 F1M ⊥ F2M
S△F1MF2 = (1/2) * |F1F2| * |yM| = 2√3 * √3 = 6
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