一条斜率为1的直线L与离心率为√3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于P,Q两点,直线L与y轴交R点,且向量OP×向量OQ=-3,向量PQ=4向量RQ,求直线与双曲线的方程

因为 双曲线 x²/a² - y²/b² = 1 的离心率为 √3 = c/a
所以 c = (√3)a， b² = c² - a² = 2a²
因此 双曲线方程可以简化为 2x² - y² = 2a²
设 直线L的方程为 y = x + m ， 易得 R(0, m)
联立方程组，消去y，并整理得 x² - 2mx - (m²+2a²) = 0
设 P(x1, y1)， Q(x2, y2)， 则 x1+x2 = 2m , x1x2 = -(m²+2a²)

由 向量OP * 向量OQ = -3 ， 得 x1x2 + y1y2 = -3
　　　　　　　　　　　　　 即 x1x2 + (x1+m)(x2+m) = -3
　　　　　　　　　　　　　 即 2x1x2 + m(x1+x2) + m² = -3
　　　　　　　　　　　　　 即 -2(m²+2a²) + m*2m + m² = -3
　　　　　　　　　　　　　 即 m² = 4a² - 3
由 向量PQ = 4 *向量RQ ， 得 x2 - x1 = 4(x2 - 0)
　　　　　　　　　　　　 即 x1 = -3x2
　　　　　　　　　　　　 得 x1+x2 = -2x2， x1*x2 = -3(x2)²
　　　　　　　　　　　　 即 (x1+x2)² = 4(x2)²， x1*x2 = -3(x2)²
　　　　　　　　　　　　 得 -3(x1+x2)² = 4(x1*x2)
　　　　　　　　　　　　 即 -3(2m)² = -4(m²+2a²)
　　　　　　　　　　　　 得 m² = a²
解得　a² = 1 ， m² = 1
所以　直线Ｌ的方程为 y = x + 1　或　y = x - 1
　　　双曲线的方程为 2x² - y² = 2