问题: 一道竞赛题
以锐角三角形ABC三边为斜边分别向外做等腰Rt三角形ABD,ACE,BCF,连结DE,AF,求证:
AF=DE,AF垂直于DE
解答:
取AB, AC, BC的中点M,N,P,连接AF,DE,DM,EN,FP,ME,MF,MN,MP
(1)证明MNE和FPM全等
FP = BC/2 = MN(中位线）
MP = AC/2 = NE
角FPM = FPB + MPB = 90 + MPB = 90 + ACB = 90 + ANM = ANM + ANE = MNE
得证
且FP垂直于BC、MN, EN垂直于AC、MP,可以发现三角形MNE可由FPM平移（点F移到点M)后旋转90度得到，因此ME垂直于MF。
（2）证明AMF和DME全等
AM = AB/2 = DM
MF = ME(由MNE和FPM全等）
角AMF = AME+EMF = AME + 90(ME垂直于MF) = AME + AMD = DME
得证
易发现三角形DME可由AMF绕M点旋转90度得到，因此AF = DE, AF垂直于DE
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