问题: 过抛物线y=ax^2(a大于0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若PF与FQ的长分别为p,q
求1/p+1/q
解答:
解选择题要讲技巧,比如特殊值法
抛物线标准方程 x²=(1/a)y, 焦点(0,1/4a)
假设PQ垂直于y轴,
求P,Q横坐标,x²=(1/a)(1/4a),x=1/2a或-1/2a
1/|PF|+1/|FQ|=2a+2a=4a
方便,快捷
考试时省时省力.
或
抛物线：x²=y/a ===> 焦点F(0,1/(4a))
设直线参数方程：x=tcosT,y=1/(4a)+tsinT（tanT为直线的斜率）
代入抛物线方程：1/(4a)+tsinT=a(tcosT)²
===> (4a²cos²T)t²-(4asinT)t-1=0
===> t1+t2=sinT/(acos²T), t1t2=-1/(4a²cos²T)
===> (t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=sin²T/(acos²T)²+1/(acosT)²=1/(acos²T)²
===> |t1-t2|=1/(acos²T)=-t1t2*(4a)
===> |PQ|=|PF|+|FQ|=(|PF||FQ|)(4a)
===> 1/|PF|+1/|FQ|=4a
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