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问题: 等待答案

已知平面αβ,且α∩β=AB,PC垂直于α,PD垂直于β,CD是垂足,若PC=PD=1,CD=√2,试判断平面α与平面β的关系,并证明你的结论。

解答:

已知平面αβ,且α∩β=AB,PC垂直于α,PD垂直于β,CD是垂足,若PC=PD=1,CD=√2,那么平面α⊥平面β
证明 :(请自画草图)
在平面α内作CH⊥AB于B,连DH,则DH⊥AB,
∴∠CHD为二面角α--AB--β的平面角
四边形PCHD为过P与AB垂直的平面四边形
△PCD中:PC=PD=1,CD=√2,1^2+1^2=√2^2→∠P=90°
四边形PCHD中:∠PCH=∠PDH=90°,∠P=90°∴∠CHD=90°
∴二面角α--AB--β=90°
∴平面α⊥平面β