经过抛物线y^2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两条直线分别交抛物线于B,C两点,求线段BC的中点M的轨迹方程.

解：抛物线的顶点C(-2P,0).
设过C的一条直线L1为y=k(x+2p)(k>0),过C且与L1垂直的直线L2的方程为y=-(1/k)(x+2p).
令[k(x+2p)]²=2p(x+2p).
当x≠－2p时,有k²(x+2p)=2p,故得L1与抛物线的交点A的横坐标 xA=2P/k²-2P=2P(1-k²)/k².
yA=k[2P(1-k²)/k²+2P]=2P/k.
再令[-(1/k)(x+2p)]²=2p(x+2p).
同样当x≠-2p时,有(1/k²)(x+2p)=2p,故得L2与抛物线的交点B的横坐标xB=2Pk²-2P=2P(k²-1).
yB=-(1/k)[2P(k²-1)+2P]=-2Pk
设AB中点M的坐标为(x,y),则
x=(xA+xB)/2=[2P(1-k²)/k²+2P(k²-1)]/2=P[(k²-1)/k]²……(1)
y=(yA+yB)/2=(2P/k-2Pk)/2=P(1-k²)/k……(2)
(1)和(2)就是中点M的轨迹参数方程.消去参数k,得
y²/x=p,即y²=px为所求.