问题: 求证
已知f(x)=3 - 4^x +2xln2,数列{an}满足(-1/2)<a1<0, 2^[1+a(n+1)]=f(an),n∈N+
求证-1/2<an<0
解答:
证明：用数学归纳法.
对a(1)显然成立
当n=k成立时
即 -1/2＜a(k)＜0
f(x)=-4^x+ln(4^x)+3
2^[1+a(k+1)]=f[a(k)]=-4^a(k)+ln[4^a(k)]+3
对函数f(x)=-x+lnx+3
图像上凹
且在x=1时取最大值
1/2＜4^a(k)＜1
5/2+ln(1/2)＜f(a(k))＜2
5/2+ln(1/2)＜2^(1+a(k+1))＜2
解得0＞a(k+1)＞ln(5/2+ln(1/2))/ln(2)-1＞-1/2
所以原命题成立.
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