问题: 高等数学问题7(1)
设P(x,y)为连接点A(0,1),B(1,0)的一条向下凹的曲线上的任意一个点,已知曲线与弦AP之间的面积为x^3,
求曲线的方程.
解答:
解：设所求曲线的方程为y=f(x),过P向x轴作垂线,垂足为C,则弦AP与曲线间的面积S(x)=梯形OAPC的面积-曲边梯形OAPC的面积
=(y+1)x/2-∫(0,x)f(t)dt=x³
即∫(0,x)f(t)dt=(y+1)x/2-x³
等式两边对x求导得：
f(x)=(1/2)(y+1+xy')-3x²
即2y=xy'+y-6x²+1
即y=xy'-6x²+1
即dy/dx-y/x=6x-1/x
这是一个n=0的Bernoulli方程,其中P=-1/x,Q=6x-1/x.
故通解为y=x[c+∫(6x-1/x)(1/x)dx]=x[c+∫(6-1/x²)dx]
=x[c+6x+1/x]=6x²+cx+1
当x=1时y=0,代入,得c=-7.
∴y=f(x)=6x²-7x+1为所求.
※关于柏虏利方程的通解的求解过程,因为书写很困难,即使写出来也看不清楚,故予以省略了.要知详情.请参看有关教科书.
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