问题: 高等数学问题7(11)
已知积分 $(1,0) f(tx)dt=1/2*F(x)+1 (x<>0) ,求f(x) ;
解答:
令u＝tx，则
∫(1，0) f(tx)dt＝1/x×∫(x，0) f(u)du
所以，原方程化为
1/x×∫(x，0) f(u)du＝1/2×f(x)＋1
∫(x，0) f(u)du＝x/2×f(x)＋x
求导：f(x)＝1/2×f(x)＋x/2×f'(x)＋1，即f'(x)－1/x×f(x)＝－2/x，记y＝f'(x)，得微分方程
y'－y/x＝－2/x
套用一阶线性非齐次方程的通解的公式得：y＝Cx＋2，所以f(x)＝Cx＋2.
由原方程得f(0)＝2
所以，f(x)＝2x＋2
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