问题: 高等数学问题7(3)
设可微函数f(x) 对于任何x,y恒有f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y),且f'(0)=2 ,求f(x).
解答:
首先，f(0)＝0
其次，f(x＋h)－f(x)＝e^h×f(x)＋e^x×f(h)－f(x)＝f(x)×(e^h－1)＋e^x×f(h)
所以，f'(x)＝lim(h→0) [f(x＋h)－f(x)]/h＝f(x)×lim(h→0) (e^h－1)/h ＋ e^x×lim(h→0) f(h)/h
＝f(x)＋e^x×f'(0)＝2f(x)＋e^x
所以，f'(x)＝f(x)＋2e^x
套用一阶线性非齐次方程的通解的公式得f(x)＝(2x＋C)e^x，再由f(0)＝0得C＝0，所以f(x)＝2xe^x
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