问题: 求一双曲线的等比中项
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e>1+√2，左右焦点分别为F1,F2。左准线为L，问能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到L距离d与|PF2|的等比中项？
解答:
解：我们不如反过来求e的取值范围使得等比中项存在.
因为|PF1|²=d|PF2|
所以|PF2|/|PF1|=|PF1|/d=e
所以|PF2|=e|PF1|……(1)
由定义,有|PF2|-|PF1|=2a……(2)
联立(1)、(2)解得|PF1|=2a/(e-1),|PF2|=2ea/(e-1)
在△PF1F2中,有|PF1|+|PF2|≥2c
所以2a/(e-1)+2ea/(e-1)≥2c
即(e+1)/(e-1)≥e,又因为e＞1
所以1＜e≤1+√2
与题设矛盾,故没有这样的点P.
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