问题: 已知双曲线上一点P,焦点F1F2,角F1PF2=α,证三角形F1PF2的面积为b^2cot(α/2)
解答:
证：双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1中,点P满足等式
m-n=+'-2a……（1） 【为方便用m、n代替|PF1|,|PF2|】
由余弦定理
m^2+n^2-2mncosA=(2c)^2……（2）
(2)-2(1):2mn(1-cosA)=4(c^2-a^2)
--->mn=2b^2/(1-cosA)
S(△)=(1/2)mnsinA
,,,,,=(1/2)[2b^2/(1-cos2A)]sinA
,,,,,=b^2*sinA/(1-cosA)
,,,,,=b^2*2sin(A/2)cos(A/2)/{2sin(A/2)]^2}
,,,,,=b^2*cos(A/2)/sin(A/2)
,,,,,=b^2*cot(A/2).证完
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