问题: 椭圆x^2/4+y^2/3=1与过右焦点的线l交于A(X1,Y1)B(X2,Y2),Y1＞Y2
若|AF|=2|BF|求线l
解答:
忽略条件2了...
解：椭园参数：a=2,b=√3,c=√(4-3)=1,右焦点F(1,0).
设过右焦点F的直线L的方程为y=k(x-1),代入椭园方程3x²+4y²=12得
3x²+4[k(x-1)]²=12,展开化简得
(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0
于是x1+x2=8k²/(3+4k²)……(1)
∵|AF|/|BF|=2,
∴F是有向线段AB的定比分点,分比λ=AF/FB=2.
∴xF=(x1+2x2)/3=1,即x1+2x2=3……(2)
焦半径|AF|=a-ex1=2-(1/2)x1,|BF|=a-ex2=2-(1/2)x2
∴|AF|/|BF|=(2-x1/2)/(2-2x2/2)=(4-x1)/(4-x2)=2
即4-x1=8-2x2,故得x1-2x2=-4……(3)
(2)+(3)得2x1=-1,∴x1=-1/2,再代入(2)式得x2=7/4.
∴由(1)式得x1+x2=-1/2+7/4=5/4=8k²/(3+4k²)
5(3+4k²)=32k²,即12k²=15,∴k²=5/4,k=±√5/2.依题意,(y1＞y2,|AF|=2|BF|,)应取k=-√5/2.
故直线L的方程为y=-(√5/2)(x-1).
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